这个理论,重塑了物理学今天的面貌

发布: | 发布时间:2020-10-12,星期一 | 阅读:16

作者:Jason Segall,翻译:Nothing,审校:Dannis

头图来自:Emmy Noether Mathematical Institute

在女性被认为智力不如男性的时代,诺特赢得了男同事的钦佩。她解决了阿尔伯特·爱因斯坦新发现的引力理论——广义相对论中的一个令人困扰的难题。在这个过程中,她证明了一个革命性的数学定理,从而改变了物理学家研究宇宙的方式。

1882年,艾米·诺特出生于巴伐利亚一个富裕的犹太家庭。她的父亲马克斯·诺特(Max Noether)是一位以研究代数几何而闻名的数学教授,但艾米最初感兴趣的是语言学。在获得英语和法语教师资格后,她才开始学习大学水平的数学,尽管当时德国大学不允许女性读大学。

这一规定在1904年被修改,1907年,诺特获得她的博士学位。她的论文研究的是抽象代数,特别是不变量理论——函数或函数组在函数变换时保持不变的性质——正是在这一领域,她迅速建立了自己的声誉。1909年,她受邀加入德国数学学会。

1910年以前的诺特

1915年,数学家大卫·希尔伯特和菲利克斯·克莱因带着一个问题找到诺特。爱因斯坦已经在那年的早些时候发表了广义相对论的场方程,但它理论上似乎有一个令人担忧的漏洞。在某些情况下,物理学中最基本的原则——能量守恒被破坏了。

1915年,希尔伯特和克莱因找到作为不变量专家的诺特。如果有人能找到填补理论漏洞的方法,那只能是她了。事实证明,他们的选择是对的。诺特的方案成为理论物理中最优雅最有力的结果之一。

诺特定理—— 守恒、对称 

诺特的理论可以表述为:

如果一个系统的拉格朗日量具有某种连续对称性,那么那么系统一定存在一个与之相关的守恒量,反之亦然。

让我们来解读一下这个表述。

首先,守恒量是系统中不随时间改变的某种性质。例如,如果我轻击一个高尔夫球,那么球的质量在我击球和它(希望)进洞之间的时间内不会改变。因此,球的质量是系统的守恒量。

相反,球的速度会随着时间而变化,无论是通过与草的摩擦还是与地面碰撞都会影响到速度。在这种情况下,球的速度不是守恒量。

接下来是连续对称的概念。回想一下在小学时,我们可以说一个正方形在旋转90度时具有旋转对称性。这意味着,当我们将一个正方形旋转90度时,最终的状态看起来就像我们什么都没做一样。然而,这个结论仅仅对某些特定的角度成立。如果我们改为旋转45°,最终状态将与原始方向明显不同。所以,我们说正方形有离散的旋转对称性

正方形的旋转对称性

现在想象在一个圆上进行同样的操作。然而,这一次不管我们把圆旋转什么角度,圆看起来总是完全一样的,即使那个角度是非常非常小。这意味着圆具有连续的旋转对称性。

最后,什么是系统的拉格朗日量?要讲解拉格朗日量,我们必须首先理解物理学中的另一个基本概念:最小作用量原理。

实际上,这表明宇宙是“懒惰”的。物理系统的运行方式使得系统从一种状态到另一种状态的演化所需的“努力”最小化。我们将这种“努力”称作系统的作用量。

例如,在我击球后,一般来讲,物理系统从“我脚下的球”发展到“洞内的球”。没有什么能阻止球从我的脚下经过一段遥远的路径到达距离球洞的10英尺远处,除非系统“在这条路径上的作用量”远远大于“球按照我们所期望的轨迹运动时的作用量”。后一条路径,即球真实走过的轨迹,是作用量最小化对应的轨迹。这正是最小作用量原理所起的作用。

这和拉格朗日量有什么关系?拉格朗日量通过让整个过程中的作用量最小来描述系统的能量在一个过程中应该如何变化。通过在一组称为运动方程的微分方程中考察它在空间和时间上的行为,我们可以确定系统是如何根据最小作用量原理从一种状态发展到另一种状态的。

即将进洞的高尔夫球。球运动的路径即使得系统作用量最小的路径,可以从拉格朗日量得到这一路径。

回到诺特定理。拉格朗日量具有连续对称性意味着什么?如果当系统沿着某个坐标连续变换时,它的拉格朗日量不变,那么这个系统被认为关于那个坐标是连续对称的。

所以,考虑一个经典的物理考试问题:两个相同的球在x轴上的碰撞。假设没有摩擦或空气阻力,可以很容易地表明,系统的动力学只取决于球的位置和速度之间的相对值,而不是它们的绝对值。

如果我们在x方向上同时将两个球平移任意相同距离,那么两个球在位置和速度上的差异是不变的。因此,系统必须以与之前相同的方式运动,就好像它根本没有被移动过一样。由于这种行为是通过拉格朗日量进行编码的,这意味着它也不能通过x方向的平移来改变。所以系统的拉格朗日量必须在x方向上具有连续对称性!

诺特告诉我们,这种对称性意味着存在一个守恒量,在这种平移对称的情况中,守恒量是动量。这就是动量守恒定律的起源!我们用来处理与这种假设相关的问题时所用到的工具,就是描述系统的拉格朗日量存在对称性的结果。

类似地,如果系统的拉格朗日量是旋转对称的,将系统旋转任意角度后拉格朗日量不变,那么角动量在系统中是守恒的。描述行星引力的拉格朗日方程是旋转对称的,所以角动量在行星的轨道上是守恒的。由于某种对称性,电荷也会是守恒的,这一次是涉及的是波函数的规范对称性这种更深奥的概念,它的细节需要参考相应的专业文章。

 “修补” 广义相对论

这些想法实在太棒了,但是它如何帮我们解决广义相对论中的问题呢?

回想一下,希尔伯特和克莱因已经意识到,在某些情况下,广义相对论中能量不守恒。我们知道,能量通常是守恒的,所以根据诺特定理,能量守恒要与某种对称性相关——事实确实如此,那便是时间平移对称性。如果一个系统在时间平移下是对称的——如果系统的拉格朗日量不显式依赖于时间——那么系统一定是能量守恒的。

诺特意识到,这就是答案。

广义相对论中的时间不像牛顿力学中那样是一个绝对量,它随着时空的弯曲而流动、扭曲。时间平移对称性只在某些特殊情况下适用于广义相对论,即在时空平坦或接近平坦时才行,所以,对于时空弯曲的情形,能量不需要守恒!

因此,通过结合她在抽象代数方面的专业知识和令人不可思议的分析思维,诺特不仅填补了20世纪最重要理论之一的漏洞,还揭示了理论物理学中一个真正的基本概念。她的定理奠定了我们每天在教室和世界上遇到的大量物理现象的基础。

对其他领域的启示

诺特定理的威力远不止于此。

即使是在粒子物理学中,诺特定理依然适用。威尔切克说:“我们不得不依靠理论上的洞察力以及关于美、美学和对称性的概念来猜测事物的运作方式。”诺特定理在这方面就很有帮助。

在粒子物理学中,关系到的对称是被称为规范对称的一种比较隐秘的对称性。电磁学中就有这样的对称性,它导致电荷守恒。规范对称出现在电压的定义中。例如,电池两端之间的电压是电位差的结果。电势本身的实际值并不重要,重要的是差值。

这就产生了电势的对称性:它的整体值可以在不影响电压的情况下改变。这个特性解释了为什么一只鸟可以坐在一根电线上而不会触电,但是如果它同时接触两根处于不同电位的电线时,安息吧,小鸟。

小鸟站在电线上

在20世纪60年代和70年代,物理学家扩展了这一想法,发现了与守恒定律相关的其他隐藏对称性,从而发展了粒子物理的标准模型。

威尔切克说:“这是一种概念上的联系——一旦你意识到这一点——就像你有一把锤子,然后你就可以去找钉子来使用它。”物理学家在发现守恒定律的任何地方都寻找对称性,反之亦然。依靠对称性建立的标准模型解释了基本粒子的行为和它们之间的相互作用——威尔切克就因其在发展标准模型中的贡献获得了2004年诺贝尔奖。就其精确预测实验结果的能力而言,现在许多物理学家认为它是有史以来最成功的科学理论之一。

然而,在很大程度上,没有人知道诺特这个人。这是一个被爱因斯坦描述为“自女性接受高等教育以来出现的最重要、最有创造力的数学天才。”

尽管如此,她从未担任过永久教师。希尔伯特被迫在哥廷根用自己的名字宣传她的讲座课程,这就是当时大学等级制度中对女性学者的排斥。随着1933年纳粹势力的崛起,她搬到了美国。在1935年因癌症突然去世之前,她本应和爱因斯坦一起在普林斯顿大学开始工作。

我们只能想象,如果命运让他们的天才结合起来,会带来哪些发现。

原文链接:

https://medium.com/cantors-paradise/noethers-theorem-how-symmetry-shapes-physics-53c416c1f19c


来源:中科院物理所(ID:cas-iop)


 

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